1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Actividad #5

Contenido:
Forma Polar
Forma Exponencial
Teorema de Moivre
Extración de raíces de un número complejo

TIEMPO: 1 Hora/Practica
SEMANA: 1

EJERCICIOS (EVIDENCIA DE PROCEDIMIENTO):
1. Realizar la solución de los ejercicios propuestos en la anterior clase, para aclarar dudas sobre la representación polar y grafica de un número complejo z.
2. Entender y utilizar el Teorema de Moivre para encontrar las n-raíces de un número complejo z. Biliografía de Moivre

(Cos Φ + i Sen Φ) n = Cos nΦ + i Sen nΦ

Para encontrar las raíces :

(Cos Φ + i Sen Φ) 1/n = Cos (nΦ)/n + i Sen (nΦ)/n

3. Entender la Demostración:

Cos  Φ = Cos (Φ + 2 ∏ k )
Utilizando la Fórmula de suma y Resta de Ángulos
Cos (Φ + α) = Cos Φ Cos α – Sen Φ Sen α
Cuando k = 0
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ Cos 2 ∏ k – Sen Φ Sen 2 ∏ k
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ Cos 2 ∏ 0- Sen Φ Sen 2 ∏ 0
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ (1) – Sen Φ Sen 2 ∏ k
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ

Queda demostrado que para cualquier numero de k, se cumple.

4. Encontrar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente

(- 1 + i ) 1/3
z = -1 + i
a) modulo de z
|z| =√2
b) argumento de z
Φ = 3∏ / 4
c) Representación polar
- 1 + i = √2 ( Cos 3∏ / 4 + i Sen 3∏ / 4 )
d) Representado el ángulo por Φ + 2 ∏ k
- 1 + i = √2 [Cos (3∏ / 4+ 2∏k) + i Sen (3∏ /4+ 2∏k) ]
e)Aplicando el Teorema de Moivre para la raiz cúbica
- 1 + i = 21/6 [Cos (3∏ / 4+ 2∏k)/3 + i Sen (3∏ /4+ 2∏k)/3 ]
f) Encontrando las 3 raíces tenemos que:

k= 0, z1= 21/6 [Cos (∏/4) + i Sen (∏/4) ]
k= 1, z1= 21/6 [Cos (11∏/12) + i Sen (11∏/12) ]
k= 2, z1= 21/6 [Cos (19∏/12) + i Sen (19∏/12) ]

g)Representar la gráfica de las raíces del numero complejo. Gráfica realizada en Octave de las tres raíces del número complejo -1 + i

Tres ra�ces del número complejo -1 + i

5. Conclusiones,
Considerando k = 3, 4, … así como los valores negativos -1, -2, …, obtendremos repeticiones de las tres valores de z. Por lo tanto, estas son las únicas soluciones o raíces de la ecuación dada.
Estas tres raíces se llaman las raíces cubicas de -1 + i, y se denota por (- 1 + i ) 1/3 .
En general, a1/n representa las raíces n-ésimas de a y existen n de tales raíces.

TAREA: EJERCICIOS PROPUESTOS  (EVIDENCIA DE DESARROLLO):

Encontrar todos los valores de z para que z5 = -32, y localizar estos valores en el plano complejo.

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS.
1)Variable Compleja
Murray R., Spiegel
Ed. McGraw-Hill

2)Variable Compleja y Aplicaciones
James WARD BROWN, Ruel V. CHURCHILL
Ed. McGraw-Hill, 7ma. edición.

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