2. Calcula la inversa de la siguiente matriz.

3. Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa

4. Estudia la dependencia e independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO
Carrera: ING. ELECTRÓNICA
Materia: Matemáticas IV                            CALIFICACIÓN: _________
NOMBRE:_________________________  FECHA:_______________

EP1: OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicios: Resuelve e Interpreta gráficamente las siguientes ecuaciones:

Fecha de entrega: Lunes 8 Septiembre a las 10:00 am. en el salón de clase.

Cada mes actualizare este blog, donde indicare un resumen de las actividades durante cada semana y mantenerse actualizado sobre algunas herramientas para siempre estar actualizado.

  Semana 1

1er día.

Encuadre general de la materia, políticas y acuerdos para acreditar la materia.

2do. día

Evaluación diagnostica.

3er. día

Unidad I. Números Imaginarios
Tema: Introducción a los números Imaginarios

Actividades:

Se realizó el esquema general de la clasificación de los números reales, e identificando donde se encuentran los números imaginarios.

Entender que el principal objetivo de los números imaginarios es representar la solución de una ecuación de segundo grado cuando su discriminante tienen una raíz negativa o geométricamente cuando la parábola no toca el eje de las x.

EP1: Se formaron equipos, para encontrar las raíces de una función cuadrática.

4to. día

Suspensión de labores escolares por junta académica.

Libros de computación y programación gratis.

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• Solución de sistema, eliminación Gauss-Jordan
• Operaciones basicas de matrices
• Inversa de una Matriz

Realizar y entregar el examen por equipo, máximo 4 personas o individual.
El día 14 de Abril del 2008 en la hora de clase: 9:00 a 10:00 am.

Examen 2do. Parcial

Dudas, preguntas o sugerencias escribirlas en el apartado de comentarios.

Contenido:

• Suma de matrices
• Multiplicación de un Escalar por una Matriz
• Producto de Matrices

Revisar el contenido de la clase en el vínculo de la página o dar click en la liga
del tema correspondiente a la clase en la parte lateral derecha.

 Tema: Producto y Suma de Matrices

Dudas, preguntas o sugerencias escribirlas en el apartado de comentarios.

Contenido:

• Vector renglón, vector columna.
• Suma de vectores.
• Multiplicación de vector por un escalar.
• Multiplicación de vectores.

EVIDENCIA DE PROCEDIMIENTO.

1. Desarrollar el producto escalar de dos vectores.
El producto de dos vectores puede dar como resultado un escalar

dos n-vectores. Entonces el producto escalar de a y b, representado por: a • b, está dado por:

Por la notación de arriba, el producto escalar de dos vectores frecuentemente es conocido
como el producto punto de dos vectores. Notemos que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar (esto es, un número)

Advertencia. Cuando hacemos el producto escalar de a y b necesitamos que a y b tengan el
mismo número de componentes.

Frecuentemente efectuaremos el producto escalar de un vector renglón y un vector columna.
En este caso tenemos.

Ejercicio 1. (2a) • (3b)

Ejercicio 2. a • (b+c)

Ejercicio 3. c • (a-b)

Ejercicio 4. (2b) • (3c-5a)

Ejercicio 5. (a-c) • (3b-4a)

The voltage, v, across a resistance is given as (Ohm’s Law),
v=Ri, where i is the current and R the resistance. The power
dissipated in resistor R is given by the expression:

If R = 10 Ohms and the current is increased from 0 to 10 A
with increments of 2A, write a MATLAB or OCTAVE program
to generate a table of current, voltage and power dissipation.

Contenido:

• Vector renglón, vector columna
• Suma de vectores
• Multiplicación de vector por un escalar

EVIDENCIA DE PROCEDIMIENTO.

1. Definir con tus propias palabras que es un vector. Los tipos de vectores que existen.

2. Definición 1

Dos vectores columna ( o renglón son iguales si y sólo si tienen el mismo número de componentes
y sus componentes correspondientes son iguales.

3. Definición 2.

Suma de vectores se realiza siempre y cuanto tengan el mismo número de componentes.

4. Definición 3.

Multiplicación de vectores por un escalar. Sea a un vector y α un escalar. Entonces el producto αa está dado por la multiplicación de cada componente del vector por el escalar.

5. Nota: Juntando la Definición 1 y la Definición 2 podemos definir la diferencia de dos vectores
como:

a - b = a + (-1)b

6. Sean a, b y c n-vecotres y sean  α y β escalares. Entonces:

i. a + 0 = a

ii. 0a = 0

iii. a + b = b + a (ley conmutativa)

iv. (a + b) + c = a + (b + c) (ley asociativa)

v.  α (a + b) =αa + αb (ley distributiva para la multiplicación por un escalar)

EVIDENCIA DE DESARROLLO

En los problemas del 1 al 5 efectúe la operación indicada con:

1. a + b
2. -2c
3. 2a – 5b
4. 0c
5. 3a - 2b + 4c

6. Sean  .Encuentre un vector v tal que:

2a - b +3v = 4c

7. Con a, b y c como el Ejercicio 6 encuentre un vector w tal que:

a - b + c - w = 0

Contendio:

• Operaciones con filas en MATLAB y OCTAVE
• Reducción de fila (renglón) con
  MATLAB, OCATAVE
• Forma escalonada

EVIDENCIA DE DESARROLLO

1. Aplicar y Atender las operaciones de renglones en MATLAB y OCTAVE

Veamos cómo usar las operaciones de Renglón en OCTAVE. Como ejemplo,
consideramos la matríz aumentada.

Introducimos la matriz en la variable A,con el siguiente código.

Ahora efecutuamos la eliminación de Gauss en A y luego resolvemos el sistema resultante
por sustitución inversa. La eliminación de Gauss utiliza operaciones elementales de fia
para establecer las entradas que estan en la prte inferior izquierda de A en cer0.

La eliminación de Gauss funciona de manera inductiva. Dado que la primera entrada de la
matriz A es igual a 1, el primer paso es transformar en 0 tadas las entradas de la primera
columna debajo de la primera fila. Comenzamos eliminando el 2 que es la primera entrada de
la segunda fila de A. Restamos dos veces la primera fila de la segunda y anotamos el resultado
en lugar de esta última. Para efectuar esta operación elemental de la fila escribimos:

En el siguiente paso, eliminamos el 1 de la entrada en la tercera fila,
primera columna de A,para lo cual escribimos:

Mediante las operaciones elementales de fila hemos dejado en 0 las
entradas de la primera columna debajo de la primera fila.

A continuación alteramos la segunda columna. Comenzamos
permutando la segunda y cuarta filas, de modo que la entrada inical
diferente de cero de la segunda fila sea 1. Para efectuar esta permuta,
escribimos:

La siguiente operación elemental de fila es con el comando:

Ahora hemos establecido en 0 todas las entradas de la segunda columna
debajo de la segunda fila.

Acontinuación ponemos en 1 la primera entrada diferente de cero
en la tercera columna, multiplicandola tercera fila por -1; el resultado es:

Como la entrrada resultante distinta de cero de la tercera fila es 1,
eliminamos la entrada diferente de cero de la tercera columna, cuarta
fila. Esto se efectúa con el comando:

Por último, dividimos entre 2 la cuerta fila para obtener.

Mediante las operaciones elementales de fila, hemos llegado al sistema,
que por medio de la sustitución inversa. Obtenemos:

x4 = 4

x3=1

x2=-2

x1=2

La idea es llegar a la matriz escalonada reducida para encontrar la
solución del sistema, aplicando las operaciones elementales la fila.
De acuerdo a las siguientes operaciones de la fila 1 y la columna 4. como:

2. Conclusiones:

¿Cuál es la diferencia cuando una matriz esta en
forma escalonada y cuando esta en forma escalonada reducida?

Reflexión: Dado que una matriz aumentada correspondiente a un sistema de ecuaciones lineales con n variables. Dado que una matriz aumentada aparece a partir de la matriz de coeficiente al sumar una columna, vemos que tiene n + 1 columnas.

Supongmaos que E es una matriz aumentada m x (n+1) que está en forma
escalonada reducida. Sea l el número de filas diferentes de cero en E.

a) El sistema de cuaciones lineales correspondiente a E es inconssitente si y sólo si
la l-ésima fila en E tiene un pivote en la (n+1)-ésima columna.

b) Si el sistema lineal correspondiente a E es consistente, entonces n-l parámetros
parametrizan el conjunto de las soluciones.

Tratar de explicar con tus propias palabras este Teorema. En el apartado comentarios.
Para tomar en cuenta la asistencia del dia 13 de Marzo de 2008.

Contenido:

• Matriz escalonada reducida
• Solución de un sistema con infinitas soluciones y sin ninguna solución
• Matriz aumentada
• Operación de Renglones

EVIDENCIA DE PROCEDIMIENTO
1. Entender y Realizar la matriz escalonada reducida para encontrar la solución
de un sistema.
Forma escalonada por renglones reducida.

Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglones reducida si se cumplen las cutro condiciones
siguientes:

i. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son en su totalidad ceros
aparecen en la parte inferior de la matriz.

ii. El primer número diferente de cero (a partir de la izquierda) en cualquier
renglón que no contiene solamente ceros es 1.

iii. Si dos renglones sucesivos no contienen solamente ceros, entonces el primer
1 en el renglón inferior ocurre más hacia la derecha que el primer 1 del renglón
superior.

iv. Cualquier columna que contenga el primer 1 de un renglón tiene ceros en
las demás posiciones.

Forma escalonada por renglones

Una matriz está en forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i), ii) y iii) de las
definición de arriba.

Nota: Es posible que la forma escalonada por renglones de una matriz no sea única.

2. Conclusiones.

La diferencia entre estas dos formas debe ser clara a partir de que: En la forma escalonada por
renglones, todos los números situados debjo del primer 1 de un renglón son ceros. En la forma
escalonada por renglones reducida, todos los números situados arriba y abajo del primer 1 de un
renglón son ceros.

Por lo tanto, la forma escalonada por renglones es más exclusiva. Es decir, toda matriz que esté
en forma escalonada por renglones reducida está en forma escalonada por renglones, pero no a la
inversa.

Nota: Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada por renglones reducida o a la forma
escalonada por renglones mendiante operaciones elementales de renglón. Como se vio en la actividad anterior.